PUTARA

    1. Putara ialah suatu penjelmaan yang memusingkan semua titik di suatu satah pada suatu titik melalui suatu sudut dan pada arah yang telah ditentukan. Titik tersebut dekenali sebagai pusat         putaran dan sudutnya sebagai sudut putaran. 

    2.       

  Melalui rajah di atas, titik P dipusingkan ke titik P’ mengikut lengkok bulatan pada titik O, melalui   90° pada arah lawan jam. Oleh itu, penjelmaan itu ialah satu putaran.

    3.    Sifat-sifat putaran:

·  Setiap titik diputarkan melalui sudut yang sama, iaitu setiap garis yang menyambungkan titik itu dengan pusat putaran diputarkan melalui sudut yang sama.

· Jarak titik dan imejnya dari pusat putaran adalah sama.

· Garis pembahagi dua sama serenjang bagi garis yang menyambungkan suatu titik dan imejnya sentiasa melalui pusat putaran.

·  Bentuk, saiz dan orientasi suatu objek adalah tidak berubah selepas putaran.

Contoh Soalan

Lukis imej bagi segi tiga PQR di bawah suatu putaran lawan arah jam melalui 90° pada asalan O. Kemudian, tulis koordinat-koordinat imej bagi titik P’, Q’ dan R’.

Penyelesaian

P’=(1,2) , Q’=(-4,3) dan R’=(-2,0)

 PRAKTIS

1. 

   

 Dalam rajah, segi tiga LMN dipindah ke segi tiga L’M’N’ di bawah satu putaran. Antara titik-titik A, B, C dan D, yang manakah merupakan pusat bagi putaran itu?

2.  

Tindakan imej bagi titik K jika titik itu diputarkan pada asalan.

(a)           Melalui 90° ikut arah jam

(b)           Melalui 90° ikut lawan jam

(c)           Melalui 180°

(d)           Melalui 270° lawan arah jam

PANTULAN

1.   Pantulan ialah suatu penjelmaan yang menterbalikkan semua titik di suatu satah pada suatu garis yang dikenali sebagai paksi pantulan.

Dalam rajah, Q’ ialah imej bagi objek Q di bawah pantulan pada garis putus-putus MN.

2.   Sifat-sifat pantulan:

·   Setiap titik dan imejnya yang sepadan berada pada jarak yang sama dari paksi pantulan.

·   Paksi pantulan ialah garis pembahagi dua sama serenjang yang menyambungkan suatu titik dengan imejnya.

·   Titik-titik pada paksi pantulan tidak mengalami sebarang perubahan kedudukan.

·   Bentuk dan saiz suatu objek tidak berubah selepas pantulan.

·   Orientasi imej bagi objek adalah terbalik.

·   Objek dan imejnya berada pada sebelah yang bertentangan dengan paksi pantulan.

Contoh Soalan

Lukiskan imej bagi segi tiga di atas di bawah pantulan pada paksi-x dan paksi-y.

Penyelesaian

Praktis

1.   Apakah imej bagi titik (3,5) di bawah satu pantulan pada garis lurus x=2?

2.   Di bawah satu pantulan pada garis lurus y=1, titik (h,2) ialah imej bagi titik (2,k). Apakah nilai h dan k ?

TRANSLASI

TRANSLASI

     Seperti yang dikatakan sebelum ini, translasi ialah suatu  jenis penjelmaan yang memindahkan semua titik pada suatu  satah mengikut suatu garis pada satah itu. Di bawah suatu  translasi, semua titik pada satah digerakkan pada arah yang  sama dan dengan jarak yan sama.

Segitiga P’Q’R’ ialah imeg bagi segitiga PQR di bawah  satu translasi dan setiap titik P, Q dan R digerakkan pada  arah yang sama dan dengan jarak yang sama. Bentuk, saiz dan  orientasi bentuk objek tidak berubah selepas translasi.

Translasi boleh dihuraikan dengan menyatakan arah dan  jarak objek itu digerakkan ataupun dengan menggunakan  bentuk , dimana k dan m masing-masing ialah jarak objek  itu digerakkan selari dengan paksi-x dan paksi-y

Jika satu titik P(x,y) bergerak di bawah translasi ,  maka imeg bagi titik P(x,y) ialah P’(x+k,y+m), iaitu  translasi  menambahkan koordinat-x bagi titik P sebanyak  k unit dan koordinat-y sebanyak m unit.

 Berikut adalah contoh soalan dan cara penyelesaiannya.

 CONTOH SOALAN :

 Tulis koordinat-koordinat imej bagi titik P(-3,7) di bawah  translasi .

 PENELESAIAN:

 Koordinat-x bagi titik imej P’=-3+5=2

 Koordinat-y bagi titik imej P’=7+(-2)=5

 koordinat bagi titik imej P’(2,5)

 PRAKTIS

1.  Huraikan translasi yang digunakan untuk memindah titik P ke  titik P’ dalam setiap gambar rajah di bawah dalam bentuk  ayat dan bentuk   

(a)

(b)

2. Tulis koordinat-koordinat imej bagi setiap titik yang berikut  di bawah translasi (-2 5).

1(a) T(4,2)  (b) U(1,-3)   (c) V(-3,3)  (d) W(2,-7)

PENJELMAAN (TRANSFORMATIONS)

APA ITU PENJELMAAN ??

          Apakah penjelmaan? Penjelmaan dalam Bahasa Inggeris adalah “Transformations”. Penjelmaan merupakan suatu pergerakkan titik atau bentuk dari tempat asal ke suatu tempat yang baru.

          Dalam rajah di atas, segitiga PQR dijelmakan kepada segitiga P’Q’R’ melalui jarak 5 unit ke kanan secara mengufuk.

 Dalam bab ini,  kita akan mempelajari tentang:

         (i)  Translasi (Translation) – Suatu jenis penjelmaan yang memindahkan semua titik pada suatu satah mengikut suatu garis pada satah terseut.

               (ii) Pantulan (Reflection) – Suatu penjelmaan yang menterbalikkan semua titik dI suatu satah pada suatu garis yang dikenalikan sebagai paksi pantulan

             (iii)  Putaran (Rotation) – Suatu penjelmaan yang memusingkan semua titik di suatu satah pada suatu titik melalui suatu sudut dan pada arah tertentu. Titik tersebut dikenali sebagai pusat putaran dan sudutnya sebagai sudut putaran.

                (iv)  Isometri (Isometry) – Suatu penjelmaan yang tidak mengubah ukuran panjang. Gabungan dua atau lebih penjelmaan antara translasi, pantulan dan putaran adalah juga suatu isometri.

Sampailah sini pengenalan bagi pengenalan untuk penjelmaan. Konteks yang seterusnya akan menjelaskan tentang penjelmaan translasi.

Sekian, selamat malam~